EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

EJEMPLOS DE LENGUAJE VERBAL ALGEBRAICO

Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas mas usadas, en forma verbal y escrita:
La suma de dos números 
a + b
La resta o diferencia de dos números 
X – y
El producto de dos números 
ab
El cociente de dos números
X/y
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia
a+b/a-b
El doble de un número 
2X
El doble de la suma de dos números 
2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números 
3(x-y)
La mitad de un número 
X/2
La mitad de la diferencia de dos números
(x-4)/2
El cuadrado de un número 

El cuadrado de la suma de dos números 

El triple del cuadrado de la suma de dos números. 

La suma de 3 números 
A+b+c
La semi suma de dos números.
(a+b)/2

¿QUE ES EL LENGUAJE VERBAL ALGEBRAICO?

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades. EL lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo deAL-Khwarizimi durante la edad media. Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales

Trinomio de la Forma ax2 + bx + c

Expresiones como 2x² + 3x - 2, 6a⁴ + 7a² + 2, 7m⁶ - 33m³ -10,

son trinomios de la forma ax² + bx + c.

 

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

 

1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en

el primer y segundo términos del trinomio.

 

Para factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c, existen varias

formas, a continuación se describirá una de ellas. 

EJERCICIOS

 

Factorizar 15x⁴ - 23x² + 4

 

=15(15x⁴ - 23x² + 4)      

            15                     

 

=(15x²)² - 23(15x) + 60  

                15                 

=(15x² - 20)(15x² - 3)   

               15                 

=5(3x²- 4) 3(5x² - 1)      

               5 . 3       

15x⁴ - 23x² + 4 = (3x² - 4)(5x² - 1)       

 

Se multiplica y se divide el trinomio

por el coeficiente del primer término.

 Se resuelve el producto del primero

 y tercer término dejando indicado el 

del segundo término.   

Se factoriza como en el caso del trinomio

 de la forma x² + bx + c, o sea, se buscan 

dos números que multiplicados de 60 y 

sumados 23. (Se suman por que los

signos de los dos factores son iguales) 

 Se factorizan los dos binomios resultantes

 sacándoles factor común monomio, se

descompone el 15 y por último dividir.

Trinomio De La Forma x2 + bx + c

TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA 

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

• Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ().

• Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

• Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino .

2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el  segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el  segundo término del segundo factor binomio.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 +  6x  +  9 = (x + 3)2 x            3     2.3.x       6x Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

EXPLICACIÓN: 1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN "CUADRADO": Los términos de este trinomio que son "cuadrado" de algo son la x2 y el 9 . Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9). El término "6x" nunca podría ser cuadrado de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una potencia par. 2) "BAJAR" LAS BASES: Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso anterior. Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados respectivos, a modo de anotación, más que nada para guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no sería obligación ponerlo en caso de que no nos estén evaluando (serviría como "justificación" en ese caso). 3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS BASES": Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta manera: 2.x.3      ("Dos por x por 3") Éso es "el doble producto de las bases" . Y el resultado es: "6x" 2.x.3 = 6x   Ahora miro el polinomio y veo que en él "está 6x".  (x2 + 6x + 9). Es decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así para que se pueda factorizar con este Caso. Acabo de verificar que el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto, porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo se hace" y no "de dónde viene". (Si les interesa saber más acerca de esto, pueden consultar en los CONCEPTOS 4) EL RESULTADO DE LA FACTORIZACIÓN: (x + 3)2 El resultado es "la suma de las bases, elevada al cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre paréntesis, y elevado a la potencia 2.

PRIMER CASO (FACTOR COMUN)

8a - 4b + 16c + 12d = 4 * (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. 

EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis. A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término: 

8a : 4 = 2a                    este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b                   este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d               


De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".


Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.  

¿PARA QUE ME SIRVE EL FACTOREO?

or ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.

¿QUE ES EL FACTOREO?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x² + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).

SIGNOS ALGEBRAICOS

Signos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicacion, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicacion. En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a x b.

Signos de relación

Se emplean estos signos para indicar la relacion que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de agrupación

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅ d} indica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d.

¿QUÉ ES ÁLGEBRA?

El álgebra es la rama de las matematicas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometria, el analisis matematico, la combinatoria y la teoria de numeros.

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmetica, en donde sólo se usan los numeros y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

- Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los numeros reales.

- Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

- Permite la formulación de relaciones Funcionales